Fachbereich Mathematik

Kreise auf Quadriken des R3

Erläuterungen zur Sammlung mathematischer Modelle

 

Zu den dargestellten Quadriken Q gibt es jeweils zwei Parallelscharen von Ebenen, die Kreise aus Q herausschneiden. Diese Parallelscharen können folgendermaßen bestimmt werden: Nach projektiver und komplexer Erweiterung des euklidischen Raumes liegt in der Fernebene F der Kegelschnitt Q ∩ F. Dieser Schneider den absoluten Kugelkreis k in zwei Paaren konjugiert komplexer Punkte. Jedes dieser Punktepaare definiert eine reelle Gerade in F. Jeder dieser Geraden definiert eine Parallelschar von Ebenen. Genau diese schneiden Q in Kreisen.

Nicht dargestellte Spezialfälle: Ist Q rotationssymmetrisch (d.h. Q ∩ F berührt k), dann fallen obige Parallelscharen zusammen, ist Q eine Kugel (d.h. Q ∩ F = k) , dann ist jeder eibene Schnitt ein Kreis.

Differentialgeometrischer Gesichtspunkt: Falls Q ein dreiachsiges Ellipsoid, ein zweischaliges elliptisches Hyperboloid bzw. ein elliptisches Paraboloid ist, dann erscheinen genau vier bzw. zwei Tangentialebenen von Q in den obigen Parallelscharen. Die zugehörigen Berührpunkte sind die vier bzw. zwei Nabelpunkte der Quardik Q (vgl. Dupinsche Indikatris).

Pm_1

Pm_2

Pm_3

 

 

 

Pm_4

Pm_5

 
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