Hallo und herzlichen Glückwunsch zum neuen Institut "Diskrete Strukturen und Symbolisches Rechnen"! Der Name klingt spannend, aber was verbirgt sich genau dahinter?
Frederik Witt: Diskrete Strukturen bzw. diskrete Mathematik bilden ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich ursprünglich mit mathematischen Operationen auf endlichen oder höchstens abzählbar unendlichen Mengen wie den natürlichen Zahlen beschäftigte. Klassische Untergebiete sind beispielsweise Kombinatorik oder Zahlentheorie. Mittlerweile hat diskrete Mathematik enge Beziehungen zur Algebra, Logik und theoretischen Informatik geknüpft, aber auch in Gebieten wie dynamische Systeme oder Differentialgeometrie werden diskrete Methoden erfolgreich angewandt.
Auf der anderen Seite umfasst symbolisches Rechnen computergestützte Methoden, deren Fokus auf dem Finden exakter Lösungen mit Hilfe algebraischer Algorithmen liegt. In diesem Sinne kann man symbolisches Rechnen komplementär zum wissenschaftlichen Rechnen sehen, welches eher auf numerischen and approximativ-analytischen Methoden beruht. Anwendungsgebiete sind alle Probleme, die durch polynomiale Gleichungen beschrieben werden können, z.B. klassische Fragen aus der diskreten Optimierung wie das Rucksack-Problem: Ein Dieb möchte Gegenstände unterschiedlichen Volumens und Wertes in seinem Rucksack mit einer gegebenen Volumenkapazität abtransportieren. Wie findet er dann den optimalen Wert unter Einhaltung des Rucksackvolumens?
Und das Logo?
Meinolf Geck: In der Lie-Theorie spielen diskrete Strukturen ebenfalls eine große Rolle. Dazu gehören die sogenannten Wurzelsysteme, das sind äußerst symmetrische Konfigurationen von Vektoren, die bereits Ende des 19ten Jahrhunderts von Killing beschrieben wurden. Das Logo ist die 2-dimensionale Projektion des E8-Wurzelsystems im 8-dimensionalen Raum. Das Bild selbst stammt von John Stembridge (University of Michigan).
Wir wissen aus früheren Interviews mit Ihnen, dass Ihre jeweiligen Arbeitsgebiete Algebra und Geometrie sind, also klassische Gebiete der reinen Mathematik. Wie passt das zu Computern?
Frederik Witt: Man darf nicht vergessen, dass Anwendungen oftmals aus theoretischen Fragestellungen entstanden sind -- man denke nur an die Quantenmechanik oder Informatik! Nun ist aus geometrischen Gründen die Frage nach invarianten Polynomen unter gewissen Gruppenwirkungen wichtig, eine Frage, die die sogenannte Invariantentheorie mit frühen Protagonisten wie Hilbert begründete und schließlich in Mumfords geometrischer Invariantentheorie oder Hironakas Theorie zur Auflösung von Singularitäten mündete, beides Ergebnisse, die mit der Fields-Medaille belohnt wurden. Nicht umsonst ist SINGULAR, welches an der Universität Kaiserslautern entwickelte wurde, auch der Name eines der führenden Softwarepakete der algebraischen Geometrie.
Meinolf Geck: Ganz nebenei illiustriert das auch sehr schön den intrinsischen Zusammenhang zwischen Gruppen und Geometrie! Darüberhinaus gibt es eine lange Tradition von Computer-Einsatz in der Gruppen-Theorie, vor allem im Zusammenhang mit der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, einem der bedeutendsten Ergebnisse der Mathematik des 20ten Jahrhunderts überhaupt. Die Existenz einiger "sporadischer" einfacher Gruppen lässt sich bis heute nur mit Computer-Unterstützung zeigen, und auch bei der weiteren Untersuchung der einfachen Gruppen sind Computer unerlässlich.
Und wie sind Sie ganz persönlich zum symbolischen Rechnen gekommen?
Meinolf Geck: Nach meinem Studium war ich viele Jahre lang Assistent am Lehrstuhl D für Mathematik der RWTH Aachen, wo damals die ersten Versionen des Programmsystems GAP entwickelt wurden -- übrigens ursprünglich aus vier Diplomarbeiten heraus. Unmittelbar beteiligt war ich nicht an der Entwicklung, aber ich wurde sozusagen zu einem der ersten Nutzer und habe gleich ein Programmpaket zum Rechnen mit Wurzelsystemen und Weyl-Gruppen geschrieben. Das war enorm nützlich, weil man mit solchen Programmen in Sekundenschnelle Arbeitshypothesen prüfen kann und in glücklichen Fällen auch auf neue Ideen gebracht wird. Im Laufe der Zeit ist dieses Paket im viel umfassenderen CHEVIE-Projekt aufgegangen. Die Möglichkeit, systematisch mit Hypthesen und substantiellen Beispielen in einem System wie GAP experimentieren zu können, war und ist eine wesentliche Grundlage für eine Reihe meiner Arbeiten.
Frederik Witt: Ich habe ebenfalls mein Studium in Aachen aufgenommen, wo ich schon früh in Berührung mit MAPLE kam -- das war damals noch nicht so selbstverständlich wie heute. Später, in meiner Promotion, habe ich intensiv LiE, ein Softwarepaket für Lie-Gruppen verwendet. Als PostDoc habe ich schließlich begonnen, mich verstärkt mit Computeralgebra und insbesondere mit SINGULAR zu beschäftigen.
Wie kam es dann zu der Institutsgründung?
Frederik Witt: Unser gemeinsamer Aufhänger war zunächst die Lehre. Um die abstrakte Theorie zu illustrieren, sind viele Beispiele einfach unerlässlich, und diese kann man einfach mit dem Computer generieren. Außerdem hilft das Programmieren, die mathematischen Begrifflichkeiten klar zu differenzieren. So kann k[x] je nach Kontext ein Ring, ein k-Vektorraum oder eine k-Algebra sein. Aber das muss man dem Computer natürlich sagen, was dabei hilft, diese Begrifflichkeiten streng zu unterscheiden. Beide Aspekte sind dabei miteinander verbunden und unterstützen sich gegenseitig. Um die bereits existierenden Aktivitäten auch in der Lehre sichtbar abzubilden, haben wir dann die GAGA-Profillinie entwickelt.
Meinolf Geck: Was die Forschung angeht gibt es gerade in Deutschland eine reichhaltige Tradition symbolischen Rechnens und der Entwicklung algorithmischer Methoden in Algebra und Geometrie. Dies wird durch die DFG seit Jahrzehnten durch Verbundprogramme gefördert, an denen auch die Uni Stuttgart regelmässig beteiligt war. Aktuell sind wir Projektleiter bzw. Mitglieder in einem auf insgesamt 12 Jahre angelegten SFB-TRR "Symbolic Tools", in dem mehrere Disziplinen (Algebra, Geometrie, Zahlentheorie, freie Wahrscheinlichkeiten, ...) durch die gemeinsame Klammer der "Algorithmik" zusammenspielen, was thematisch hochinteressant ist. Durch dieses langfristige Engagement und die kombinierten Interessen unserer Arbeitsgruppen schien es sinnvoll, unser Profil auch nach außen hin durch ein eigenes Institut zu schärfen. Und wir hoffen, dass dies auch dem Fachbereich Mathematik insgesamt zugute kommt.
Frederik Witt: Sicherlich hat auch unser gemeinsamer Background geholfen. Wir hatten teilweise die gleichen akademischen Lehrer in Aachen, und auch unsere langjährige Auslandserfahrung verbindet uns.
Welche Projekte wollen Sie in naher Zukunft angehen?
Meinolf Geck: Es wird interessant sein zu sehen, wie sich Programmsysteme wie GAP, MAPLE etc. weiterentwickeln. Im Rahmen des oben genannten SFB-TRR wird ein neues solches System auf der Basis der relativ jungen Programmiersprache Julia entwickelt (die ursprünglich von angewandten Mathematikern am MIT konzipiert wurde). Dadurch eröffnen sich Perspektiven für neue Einsatzfelder computer-gestützter Methoden in der reinen Mathematik, und insbesondere hoffentlich in den Gebieten, die mich interessieren.
Frederik Witt: Auch für mein Gebiet der Geometrie erwarte ich noch spannende Perspektiven, z.B. im Bereich der torischen Geometrie, einem besonders kombinatorischem Bereich der algebraischen Geometrie. Und wir hoffen natürlich, dass das neue Institut eine natürlich Andockstation für weitere Projekte und Kollaborationen wird.
Vielen Dank für das Interview.
Prof. Frederik Witt
Prof. Meinolf Geck
Institut für diskrete Strukturen und symbolisches Rechnen (IDSR)
