Neben der Spur und auf der Kurve

Formen und Kräfte - ein mathematisch-physikalischer Gang zur Kunst

Der Heuweg: Schriftzug, Parallelkurven und Begrenzungswände

Die ursprüngliche Konzeption der Lernstraße als verbindendes Gestaltungselement auf dem damals neu entstandenen Campus Vaihingen startet mit dem Heuweg:

Ein gepflasterter schlangenförmiger Weg, umsäumt von Rasen. 
Der Weg ist lesbar, das Wort heu ist mit langem Auf- und Abschwung darin zu lesen.

Ursprünglich wurde das heu in den Lauben zwischen Pfaffenwaldring 47 und der Mensa fortgeführt zu heu — heute — heureka — heut wüßt' ich's ja.

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Video-Transkription

Mathematischer Hintergrund

Parallelkurven

Durch die Ausführung als Kopfsteinpflaster entstehen neben der Mittelkurve, die den Schriftzug bildet, sogenannte Parallelkurven. Im Bild ist die Mittelkurve gelb markiert, dazu sind vier Parallelkurven markiert.

Jede dieser Parallelkurven hält einen festen Abstand (jeweils quer zur momentanen Richtung der Mittelkurve gemessen) zur Mittelkurve ein: Man kann den Abstand an Pflastersteinen abzählen.

Dabei entsteht meist eine Kurve, die qualitativ der Mittelkurve recht ähnlich ist.

🧒 Man kann den Heuweg genau in der Mitte nachgehen – oder rechts oder links am Rand, vielleicht zu zweit oder dritt nebeneinander ...
Sind diese Wege gleich viele Schritte lang?
Wie eng sind die Kurven?

Wenn der Kurvenradius im Vergleich zum gewählten Abstand zu klein wird,  kann es auf der Parallelkurve zu Singularitäten (insbesondere Knicken) kommen, obwohl die Mittelkurve glatt und ohne Knick verläuft.

In der  (bearbeiteten) Fotografie erahnt man dieses Phänomen an der rot markierten  Parallelkurve — im realen Heuweg kann man noch schlimmere Singularitäten entdecken.

Eine Verallgemeinerung solcher Parallelkurven (nämlich Parallelflächen) findet man bei der Skulptur Haus und Stuhl.

Ein interaktives Spielzeug

🧒 In der interaktiven Darstellung lässt sich der Abstand der Parallelkurve von der Mittelkurve mit dem horizontalen Schieber rechts oben verändern.

Man kann auch Anfang und Ende des Stücks ändern, zu dem die Parallelkurve gezeichnet wird.

Die Wandkurve und das Kurvenintegral

🧒 Wer schafft es, oben auf der Wand entlang zu balancieren?

Besonders auffällige Singularitäten findet man in den Kurven, die den Rand des Heuwegs bilden und auf denen vertikal betonierte Wände errichtet sind: Die Knicke sind unübersehbar.

Diese Knicke kommen aber nicht vom erratischen Verhalten einer Parallelkurve, sondern rühren daher, dass der Rand aus verschiedenen Stücken einer Parallelkurve zusammengesetzt ist — die Parallelkurve selbst verlässt hier die Wand, bildet wie die Mittelkurve eine Schleife und überschneidet sich dann selbst, um wieder an die Wand zurückzukehren.

Die Wände selbst haben variable Höhe; die Fläche der Wand ist deswegen nicht leicht zu bestimmen.

Wenn man die momentane Höhe der Wand als Funktion des auf der Grundlinie (also auf der Kurve am Rand des Heuwegs) liegenden Punktes auffasst, kann man die Fläche der Wand durch ein so genanntes Kurvenintegral bestimmen.

Für die exakte Auswertung der abstrakten Formel braucht man nicht nur die explizite Kenntnis der Funktion, sondern auch eine Parametrisierung der Kurve (die wir als Grundriss der Wand sehen) mit einem geeigneten Parameterintervall, und die Ableitung dieser Parametrisierung.

Selbst wenn man all dies hat, machen die Knicke in der Kurve noch Ärger: Man muss gegebenenfalls an solchen Knicken die Parametrisierung neu ansetzen, um das gesamte Kurvenintegral in mehreren Abschnitten zu berechnen.

Für eine näherungsweise Bestimmung des Werts dieses Kurvenintegrals kann man die  Fläche durch Rechtecke approximieren.

In der betonierten Fassung der Wand bieten sich die Spuren der Schalung durch vertikale Bretter an: die vertikalen Streifen auf der Wand suggerieren Rechtecke wie die eben angesprochenen.

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