vergittert, verbogen, verrechnet

Formen und Kräfte - ein mathematisch-physikalischer Gang zur Kunst

Pergola mit blauem Bogen

Vor dem Hörsaaltrakt des Gebäudes Pfaffenwaldring 47 steht ein wahrer Wald von Säulen. Im Säulenwald finden wir den Glastafelbrunnen, oben sind die Säulen verbunden durch Querstreben, die eine Pergola bilden.

Durch die Pergola zieht sich außerdem ein großer blauer Bogen, der die Form der Wasserstrahlen am Brunnen aufnimmt, verändert und stark vergrößert.

🧒 Wie viele Säulen hat die Pergola?
Wie viele davon sind eckig, wie viele rund?
Kann man die Länge des blauen Bogens bestimmen, indem man unter ihm entlang geht und die Schritte zählt?
Gibt es unterschiedliche Ergebnisse, wenn verschieden große Leute den Bogen abschreiten?

Wer die Pergola von weit oben (oder mit genügend Vorstellungsvermögen von unten aus) betrachtet, kann erkennen: Diese bildet einen Teil eines quadratischen Rasters (wie auf einem karierten Blatt Papier); einige Diagonalen sind mit eingetragen (und erhöhen wohl die Stabilität der Pergola). 

Auf diesem karierten Hintergrund läuft der blaue Bogen, wir können ihn in guter Näherung als Kreisbogen ansehen. Die folgende Skizze zeigt den Grundriss der Pergola und darin den hellblauen Bogen. Um den Mittelpunkt des Kreises zu finden, sind noch dunkelblaue und hellrote Hilfslinien eingezeichnet.

Man kann den Mittelpunkt des Kreises einfach konstruieren:
Für je zwei Punkte auf dem Kreis ist die Mittelsenkrechte auf der Verbindungsstrecke eine Symmetrieachse des Kreises, läuft also durch den Mittelpunkt.

Jetzt brauchen wir also nur zwei Punktepaare zu wählen und die Mittelsenkrechten zu errichten: Der Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Kreises.

Wenn wir dann um den so gefundenen Mittelpunkt den Kreis durch einen der drei benutzten Punkte schlagen, sollte dieser Kreis durch die anderen beiden Punkte gehen – und dann sogar durch jeden Punkt des Bogens; wir erhalten so eine Bestätigung (eine Probe) dafür, dass der Bogen wirklich gut als Teil eines Kreises approximiert wird.

Mathematischer Hintergrund

Berechnung des Mittelpunkts

Wenn man davon ausgeht, dass der Bogen ein Stück eines Kreises ist, kann man den Mittelpunkt (a,b) und den Radius r dieses Kreises auch rechnerisch aus einem Gleichungs­system ermitteln. Dazu führen wir Koordinaten ein, die sich an das Karo­muster anpassen (siehe Skizze).

Die Gleichung des Kreises ist
(x-a)2+(y-b)2=r2;
jeder Punkt (x,y), der diese Gleichung erfüllt, liegt auf dem Kreis – und jeder Punkt auf dem Kreis erfüllt diese Gleichung.

Aus der Skizze entnehmen wir, dass die Punkte A, B und C mit den Koordinaten (8,0), (4,2) und (0,7) auf dem Kreis liegen. Wenn wir diese Koordinaten­paare für (x,y) in die Gleichung des Kreises einsetzen, ergeben sich die folgenden drei Gleichungen:


64-16a+a2+b2 = r2

16-8a+a2+4-4b+b2 = r2
a2+49-14b+b2 = r2

und daraus dann
a = 139/12 ≈ 11,6
b = 73/6 ≈ 12,2
r ≈ 12,7.

Die geometrische Konstruktion von vorhin war doch wesentlich einfacher als diese Rechnung...

Wenn man auch den hellblauen Steinbogen in der Pergola durch eine Parabel (wie die Wasserstrahlen des Brunnens) oder einen ganz allgemeinen Kegelschnitt approximieren wollte, müsste man mehr als drei Punkte für die Konstruktion bzw. die Rechnung verwenden.
Die oben erwähnte Probe scheint zu rechtfertigen, dass man den Steinbogen als Kreisbogen im Rahmen der Betoniergenauigkeit ansieht. 

Auf den Säulen der Pergola findet sich noch eine geometrische Spielerei (an einer Säule leider bei der letzten Renovation demoliert): In eine Reihe von Säulen mit quadratischem Grundriss sind dunkle Quader eingelassen, die so aus der vertikalen Fläche gekippt sind, dass unten der äußere, oben aber der innere Rand des Quaders mit der Außenfläche der Säule abschließt. 

Da diese dunklen Quader an den verschiedenen Säulen unterschiedliche Dicke haben, klappen sie unterschiedlich weit heraus.
(Am weitesten müssten die Quader aus der auf dem Bild ganz vorn stehenden Säule herausragen - aber das fiel leider einer Renovation zum Opfer.)

Zum Seitenanfang