Der Prof springt im Achteck

Formen und Kräfte - ein mathematisch-physikalischer Gang zur Kunst

Modelle der achteckigen Hörsäle und ein Sternstück

Die Geometrie der in die Gebäude Pfaffenwaldring 7 und 9 integrierten Hörsäle wird durch drei betonierte Modelle vor einem der Zugänge zum Gebäude angedeutet.

🧒 Von wo aus muss man gucken, um ein Bild wie das oben gezeigte zu sehen?

Auch das Sternstück nimmt die regelmäßig achteckige Struktur dieser Grundrisse auf, verdeutlicht und verfremdet sie gleichzeitig. - Zum Sternstück muss man sich ein Stück weit in die Eingangsschlucht hinein wagen.

Die regelmäßig achteckige Form der Hörsäle selbst lässt sich von außen erst wahr­nehmen, wenn man ein bisschen abgehoben ist und über der Sache steht (siehe Bild unten), deswegen ein Ausschnitt aus dem Bauplan:

Im Innern der Hörsäle ist die regelmäßige Form dadurch verschleiert, dass verschiedene Nebenräume vom achteckigen Grundriss abgetrennt sind.

Dach des Hörsaals V7.02
Dach des Hörsaals V7.02

Selbst die Modelle lassen Zweifel   (oder den Ruf nach einem Meterstab zum Nachmessen) aufkommen:
Die zu Grunde liegende Form scheint kein regelmäßiges Achteck zu sein, sondern nur die Symmetrieeigenschaften von zwei geschickt überlagerten und dann eingehüllten Rechtecken zu haben.

Dieser Eindruck wird auch durch die Dachgestaltung unterstützt.

Mathematischer Hintergrund

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Achteldrehung erhält die Hülle der Rechtecke.

Symmetrie

Tatsächlich bildet aber der Umriss des Hörsaals (und der des Modells) jeweils ein regelmäßiges Achteck; die acht Seiten sind alle gleich lang, die eingeschlossenen Winkel sind alle gleich.
Man könnte (in der Theorie) das Achteck durch eine Achtel­drehung mit sich selbst wieder zur Deckung bringen.
Das kleine Video führt das vor.

Außer den acht möglichen Drehungen gibt es auch noch acht Spiegelungen, unter denen das Achteck invariant bleibt. Details findet man im Extrablatt mit der Bastelanleitung (PDF).

Konstruktionen und mehr Symmetrien

🧒 Man kann das regelmäßige Achteck aus Papier allein durch Falten basteln, oder mit Zirkel und Lineal konstruieren wie die alten Griechen:
Details findet man in der Bastelanleitung (PDF), diese enthält auch weitere Erklärungen zu Spiegel- und Drehsymmetrie des Achtecks.

Oder man gewinnt das regelmäßige Achteck (wie bei den Hörsaal-Modellen angedeutet) durch Überlagern von zwei passenden Rechtecken - die richtigen Abmessungen werden hier ausgerechnet (PDF).

Sternstück

Der im Sternstück dargestellte Stern hat die gleichen Symmetrien wie die regelmäßigen Achtecke:

Es gibt insgesamt acht Drehungen und acht Spiegelungen.

Man kann den Stern einfach durch Überlagerung von zwei Quadraten konstruieren (oder auch aus zwei quadratischen Stücken Papier basteln, die man geeignet verdreht aufeinander klebt).

Physikalischer Hintergrund

Skalieren von Größen

Die drei „Hörsaalobjekte“ haben alle dieselbe Form: Es sind achteckige, reguläre Prismen, die von oben betrachtet jeweils von einem regelmäßigen Achteck gebildet werden.

Die Seitenflächen der Prismen sind jeweils Quadrate, damit sind alle Kantenlängen eines Prismas gleich. Bei diesen drei unterschiedlich großen Polyedern handelt sich also jeweils um ein gleichseitiges, reguläres, achteckiges Prisma.

Trotzdem ist die Wirkung der drei Objekte sehr unterschiedlich. Dies liegt an den Abmessungen. Die Außenabmessungen des mittleren Objektes sind doppelt so groß wie die des kleinen und die des großen sind doppelt so groß wie die des mittleren. Man sagt, dass die Außenformen vom kleinen zum mittleren und dann zum großen Objekt jeweils um einen Faktor 2 skaliert wurden.

Solche Skalierungen und ihre Auswirkungen spielen in der Physik eine große Rolle. Je nach relevanten Skalen müssen unter­schiedliche Phänomene betrachtet werden. Auf sehr kleinen Skalen (sehr kleine Längen­abmessungen, etwa bei Atomen) dominiert die Quanten­mechanik, wohingegen bei sehr großen Skalen (sehr große Abmessungen, etwa im Weltall) die Relativitäts­theorie berücksichtigt werden muss.

Auch im Alltag spielt Skalenverhalten eine große Rolle. Ein geometrisches Phänomen ist dabei beispielsweise, dass sich das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen eines Körpers verändert, wenn man alle Abmessungen in den drei Dimensionen mit einem gemein­samen Faktor skaliert. So verhalten sich Wasser­tropfen je nach Größe sehr unter­schiedlich: Im Regen fallen sie schnell zu Boden, im Nebel hingegen nicht.

Ein anderes Beispiel betrifft Sonne und Mond: Der Durchmesser der Sonne ist mit etwa 1,4 Millionen Kilometern etwa 400-mal so groß wie der Durchmesser des Mondes (etwa 3500 km), das Volumen der Sonne ist somit ca. 4003=64⋅106, also 64-Millionen-mal größer als das des Mondes. Da die Sonne aber ebenfalls ca. 400-mal soweit von der Erde entfernt ist wie der Mond, erscheinen Sonne und Mond von der Erde aus gesehen praktisch gleich groß. Das ist bei einer Sonnenfinsternis wichtig, wenn sich für den Beobachter auf der Erde der Mond vor die Sonne schiebt. Da sich die Abstände zwischen Erde und Sonne bzw. Erde und Mond wegen der leicht ellipsenförmigen Umlaufbahnen im Laufe eines Jahres leicht ändern, gibt es sowohl totale Sonnenfinsternisse (Mond bedeckt Sonne vollständig) als auch ringförmige Sonnenfinsternisse (ein schmaler Ring, der Rand der Sonne, wird vom Mond nicht verdeckt).

🧒 Sind die Kanten wirklich gleich dick?
Kann man das in Fingerbreiten nachmessen?
Sind die Seiten alle gleich lang? 
Womit kann man diese Seiten nachmessen?

Skalenverhalten finden wir auch bei den drei Hörsaalobjekten, bei denen die Außenabmessungen zwar jeweils um den Faktor zwei skaliert sind, die Breite der aus Beton geformten Kanten hingegen gleich bleibt. Somit ändert sich das Kantenlängen-zu-Gesamtvolumen-Verhältnis deutlich und dies fällt sofort ins Auge:
Das größte Hörsaalobjekt erscheint als leicht-voluminöser Körper, dessen Kanten „kaum ins Gewicht“ fallen, wohingegen beim kleinsten Hörsaalobjekt fast das gesamte Volumen von den massiven Kanten ausgefüllt wird. Die Eigenschaften des kleinsten Hörsaalobjekts werden von den Kanten dominiert, die des größten dagegen vom Volumen.

Im idealen Fall der Skalierung eines geometrischen dreidimensionalen Körpers um einen Faktor 2 verringert sich das Kantenlängen-zu-Gesamtvolumen-Verhältnis um einen Faktor 23/2=4, also beim Vergleich des kleinsten und des größten Hörsaalobjektes um den Faktor 42=16 und dieser große Effekt zeigt sich hier auf den ersten Blick.

[Genaugenommen ist es hier nicht exakt der Faktor 16, da die relevanten Betonbalken der Kanten selbst dreidimensionale Körper sind, die sich teilweise überschneiden. Diese Überschneidungsbereiche werden beim Verdoppeln der Kantenlänge nicht mitskaliert.]

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