8. Oktober 2019 / Fachbereich Mathematik

Prof. Schneider, was haben Wellen mit Mathematik zu tun?

Porträts am Fachbereich Mathematik

Wellen finden sich in verschiedensten Systemen und in verschiedensten Formen. Es gibt Gravitationswellen, elektromagnetische Wellen, Wasserwellen, usw. Auch Grippewellen, modelliert als Lösung eines Reaktions-Diffusionssystems sind ein Wellenphänomen. Es gibt eindimensionale, zweidimensionale und dreidimensionale Wellen. Es gibt Wellen von permanenten Form, modulierende Wellen, Schockwellen, Fronten, usw.. Beschrieben werden diese Wellen meist durch Lösungen nichtlinearer Partieller Differentialgleichungen. In einem mitbewegten Koordinatensystem können diese Wellen stationäre oder zeitperiodische Lösungen sein. Untersucht wird die Existenz, die Stabilität oder die Wechselwirkung solcher Wellen

Haben solche Untersuchungen praktische Anwendungen?

Mit Hilfe des Maximumprinzips lässt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Fronten in Reaktions-Diffusions Systemen abschätzen. Dies liefert Informationen über die Geschwindigkeit mit der sich Epidemien ausbreiten. So lässt sich zum Beispiel die Größe des Gebietes bestimmen, in dem gegen Tollwut geimpft werden muss.

Die Analyse des Wasserwellenproblems liefert einfache Modelle über die Ausbreitung von Tsunamis, die die Ankunftszeit dieser zerstörerischen Wasserwellen an den verschiedenen Küsten innerhalb weniger MInuten extrem genau vorher sagen.

Beim Multiplexing wird die Datenrate bei der Übertragung von Informationen durch Glasfaserkabel dadurch gesteigert, dass Licht mit verschiedenen Trägerfrequenzen durch das gleiche Kabel geschickt wird. Nur wenn die permanente Wechselwirkung der Wellen mit verschiedenen Trägerfrequenzen verstanden ist, kann am Ende des Kabels Datensalat verhindert werden.

Was wird am Lehrstuhl für Analysis und Modellierung dazu geforscht?

Der Lehrstuhl ist als externes Mitglied am Sonderforschungsbereiches 1173 am KIT über Wellenphänomene beteiligt. Untersucht wird insbesondere die Wellenausbreitung in periodischen Medien. Motiviert sind diese Untersuchungen durch die Lichtausbreitung in sogenannten photonischen Kristallen oder der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Strukturen wie Nanoröhrchen oder Graphene. Durch die periodische Struktur besteht im Prinzip die Möglichkeit Licht auf die Geschwindigkeit Null zu bremsen. Im Prinzip können die Kristalle als Lichtspeicher verwendet werden. In den letzten Jahren haben wir für die dazugehörigen Nichtlinearen Partiellen Differentialgleichungen die Existenz stehender zeitperiodischer lokalisierter Lösungen nachgewiesen. Das war durchaus eine Überraschung, da im räumlich homogenen Fall die Nichtexistenz solcher sogenannter Breatherlösungen wohlbekannt ist. Im neuen Projekt soll unter anderem die Existenz wandernder verallgemeinerter Breatherlösungen in periodischen Medien nachgewiesen werden. Im mitbewegten Koordinatensystem sind diese Lösungen dann quasiperiodisch. Auch Stabilitätsfragen werden in diesem Projekt eine wichtige Rolle spielen.

Vielen Dank für das Interview.

Prof. Guido Schneider
Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung
Lehrstuhl für Analysis und Modellierung

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