Fachbereich Mathematik

Dupinsche Zykliden

Erläuterungen zur Sammlung mathematischer Modelle

 

 

Mathematische Definition:

 

Die Einhüllende einer Schar von Kugeln, die drei Kugeln stetig berühren, nennt man Dupinsche Zyklide.

Erklärung für Alle

Was ist eine Dupinsche Zyklide?

Eine Dupinsche Zyklide ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum, die sich wie folgt ergibt:

 

Drei Kugeln sind festgewählt. Zu diesen drei Kugeln gibt es eine gewisse Menge von Kugeln, die die drei festgewählten Kugeln berühren. Berühren heißt hier, dass die eine Kugel sich in die andere Kugel von innen oder außen anschmiegt, und diese nicht durchstößt.

 

Die Einhüllende aller Kugeln, die alle drei festgewählten Kugeln berühren, heißt Dupinsche Zyklide. Die „Einhüllende“ ist die Fläche, die man erhält, wenn man von außen alle Kugeln einfasst, sie also einhüllt.

Verschiedene Formen der Dupinschen Zyklide

Je nach Anordnung der drei Kugeln kann die Dupinsche Zyklide verschiedene Formen annehmen. Befinden sich zwei der drei Kugeln innerhalb der anderen, und überschneiden sie sich nicht, so ergibt sich eine „elliptische Ringzyklide“, die aussieht wie ein (eventuell etwas unssymmetrischer) Donut. In unserer Sammlung befindet sich ein Modell einer solchen Zyklide.

 

 

Die elliptische und die parabolische Zyklide

 

Es hat sich gezeigt, dass es zwei verschiedene Grundformen der Dupinschen Zyklide gibt: Die elliptische und die parabolische. Dabei ist die Ellipse bzw. die Parabel ist dieLeitkurve, entlang der sich die Kugeln anordnen. Sie verläuft also gewissermaßen in der Mitte der Zyklide. Eine Fläche, die sich wie die Zykliden als Einhüllende der Kugeln auf einer eine Leitkurve darstellen lassen, nennt man Kanalfläche. Die elliptischen Zykliden haben eine endliche Ausdehnung. Bei den parabolischen Zyklide werden die Kugeln entlang der Arme der Parabel zumindest ab einem gewissen Punkt immer größer und füllen in Richtung der Parabelarme den Raum bis ins Unendliche aus.

 

 

Hornzyklide

 

Unter unseren Modellen befindet sich eineelliptische Ringzyklide, eine elliptische Hornzyklide, eine parabolische Ringzyklide und eine parabolische Hornzyklide. Die Besonderheit bei den Hornzykliden ist, dass der Radius der Kugeln kurzzeitig auf Null geht. So entstehen die beiden Punkte, in denen sich zwei Spitzen treffen. Einen solchen Punkt nennt man eine Singularität. Die beiden Singularitäten einer Hornzyklide müssen die beiden Schnittpunkte aller drei zuvor festgewählten Kugeln sein, denn die immer kleiner werdenden Kugeln, die von der Zyklide eingehüllt werden und sich direkt neben der Singularität befinden, müssen nach der Definition der Dupinschen Zyklide alle drei zuvor festgewählten Kugeln berühren. Da sich beliebig nah an diesen Punkten sehr kleine Kugeln in der Zyklide befinden, muss es möglich sein, direkt neben diesen Punkten alle Kugeln zeitgleich zu berühren. Alle drei festgewählten Kugeln verlaufen also durch diese zwei Punkte.

 

 

Einhornzyklide

 

Bei der Einhornzyklide fallen im Vergleich zur gewöhnlichen Hornzyklide die beiden Singularitäten in einem Punkt zusammen. Auch die Einhornzyklide gibt es sowohl in der elliptischen als auch in der parabolischen Form.

 

 

Spindelzyklide

 

Eine weitere Form ist die Spindelzyklide. Zum Verständnis der Spindelzyklide ist es besonders wichtig, sich bewusst zu machen, dass die Zyklide nur die Oberfläche des Modells, also eine Fläche, und kein dreidimensionales, gefülltes Objekt ist. Bei der Spindelzyklide befindet sich ein Teil der Fläche innerhalb des anderen Teils, sodass man diese Zyklide in einem Modell gar nicht ohne weiteres veranschaulichen kann. Den Übergang von einer (elliptischen) Ringzyklide zu einer Spindelzyklide kann man sich folgendermaßen vorstellen: Die Ringzyklide hat wie ein Donut ein Loch in der Mitte. Nun lässt man die Ellipse, also die grundlegende Form der Zyklide gleich, macht sie aber „dicker“, d. h. man vergrößert den Radius der Kugeln auf der Ellipse. Irgendwann treffen sich die gegenüberliegenden Seiten der Zyklide, das Loch verschwindet. Macht man die Kugeln jetzt noch etwas größer, dann schieben sich die gegenüberliegenen Seiten der Zyklide ineinander hinein und in der Mitte entsteht – verdeckt von der äußeren Schicht – eine Spindel, die in der Form dem Horn der Hornzyklide ähnelt. Das Konzept der Spindelzyklide muss man nur für den elliptischen Fall betrachten. Denn im parabolischen Fall ist die Spindelzyklide zugleich eine Hornzyklide. Dafür ist eine zweite Parabel wichtig: später mehr dazu.

Kreise auf der Dupinschen Zyklide

Die Dupinschen Zykliden haben eine besondere Eigenschaft: Sie sind von zwei verschiedenen Kreisscharen überzogen. Am Beispiel der elliptischen Ringzyklide lässt sich das gut erklären: die eine Schar der Kreise sind diejenigen, die durch das Loch der Zyklide von der Mitte weg nach außen hin verlaufen. Die anderen Kreise verlaufen in etwa in die gleiche Richtung wie die Ellipse in der Zyklide. Zwei Kreise aus dieser Schar verlaufen exakt in derselben Ebene wie die Ellipse, wobei der eine Kreis derjenige mit dem kleinsten Radius ist und genau in der Mitte des Lochs verläuft und der andere Kreis derjenige mit dem größten Radius ist und einmal um die gesamte Zyklide herumläuft.

 

Auch bei der elliptischen Hornzyklide lassen sich diese Kreise finden. Dabei gibt es dann nicht mehr den kleinsten Kreis im Loch und den größten Kreis, der die gesamte Zyklide umkreist, sondern die beiden Kreise in der Ellipsenebene sind auf einem Horn jeweils außen und auf dem anderen innen. Alle Kreise, die zu dieser Kugelschar gehören, Schneiden sich in den beiden Singularitäten.

 

 

Die Kreise sind Krümmungslinien

 

Die Kreise dieser beiden Kreisscharen sind die Krümmungslinien der Dupinschen Zyklide. Es gibt zwei verschiedene Arten von Krümmungslinien: die eine Krümmungslinie erhält man, indem man von einem Punkt startet und der Richtung folgt, in die die Fläche am stärksten gekrümmt ist. Dies muss in jedem Punkt erfüllt sein. Auf diese Art erhält man die Kreise, die die Zyklide „weg vom Zentrum“ umhüllen. Die anderen Krümmungslinien gehen immer in die Richtung, in der die Fläche am schwächsten gekrümmt ist. Dies erfüllen die Kreise, die das Loch der Zyklide umrunden.

 

All diese Betrachtungen kann man nicht nur für die elliptischen Zykliden durchführen, sondern auch für die parabolischen. Aufgrund der unendlichen Ausdehnung ist es jedoch weniger leicht nachvollziehbar, dass sich tatsächlich Kreise auf der Zyklide befinden, und wie diese genau verlaufen.

 

 

Parabolische Zyklide

 

Bei der parabolischen Ringzyklide erkennt man den Kreis, der genau im Loch verläuft, sehr gut. Ein Kreis, der wie bei der elliptischen Ringzyklide die gesamte parabolische Ringzyklide umschließt, existiert nicht. Vielmehr ist dieser zu einer Gerade entartet. Im Gipsmodell befindet sich diese Gerade genau oben auf der Zyklide. Die Fläche hat in dieser Richtung keine Krümmung, man kann sich die Gerade als Kreis mit unendlichem Radius vorstellen. Alle übrigen aus dieser Kreisschar verlaufen zwischen diesem kleinsten Kreis und der Gerade und breiten sich auf der unendlich ausgedehnten Fläche – auf dem Gipsmodell in Richtung des Fotografen bzw. weg vom Fotografen – aus. Die zweite Kreisschar findet man, indem man sich zuerst den Kreis, der die Zyklide an der kleinsten Stelle umschließt, vorstellt und anschließend feststellt, dass sich rechtwinklig zum Loch ebenfalls eine Gerade befindet, im Gipsmodell unterhalb des Lochs. Die übrigen Kreise umschließen die immer breiter werdende Zyklide.

Die zweite Parabel

Die Dupinsche Zykliden sind Flächen und keine Körper. Das bedeutet, beim Gipsmodell muss man sich die Füllung wegdenken. Nur die Oberfläche ist wichtig. Wenn man sich das Modell der parabolischen Ringzyklide anschaut, dann kann man sehen, dass man ein zweites, gleiches Modell aufsetzen könnte. Der Gips, der über dem Loch verläuft hat die gleiche Form wie das Loch selbst, man könnt also das zweite Modell aufschneiden und auf das erste aufsetzen.Das bedeutet, dass die Zyklide auch von der anderen Seite her beschrieben werden kann. Denn wo Luft und wo Gips ist, ist völlig unerheblich, man kann auch beide miteinander vertauschen. Die zuvor beschriebene Parabel der Ringzyklide verläuft durch das Gipsmodell, der Scheitel befindet sich über dem Loch. Genauso gut könnte man zur Beschreibung aber eine andere Parabel verwenden, und zwar die, die von vorne nach hinten durch das Loch verläuft und in der Luft schwebt. Diese Parabel verläuft durch unser gedachtes zweites Gipsmodell. Eine solche zweite Parabel lässt sich bei jeder parabolischen Zyklide finden. Betrachtet man die Hornzyklide von der anderen Seite (anhand der anderen Parabel), so erhält man eine Spindelzyklide. Da diese jedoch wegen der Überlappung deutlich schwerer vorstellbar ist und mit der Hornzyklide übereinstimmt, ist dies überflüssig.

 

Ähnlich verhält es sich bei den elliptischen Zykliden. Hier gibt es keine zweite Ellipse, sondern eine Hyperbel. Die zwei Arme der Hyperbel verlaufen durch die Brennpunkte der Ellipse. Eine Ellipse und damit eine elliptische Zyklide ist im Raum beschränkt, das bedeutet, man kann eine Schachtel um sie herumbauen, in die sie vollständig hineinpasst. Bei den parabolischen Zykliden ist das nicht der Fall, sie reichen bis ins Unendliche. Würde man die Hyperbel als Leitkurve für die Herstellung des Gipsmodells verwenden, dann würde alles aus Gips sein, was bei der elliptischen Zyklide aus Luft ist. Das hätte zur Folge, dass die Sicht auf die Zyklide selbst versperrt wäre, und man nichts erkennen könnte. Das ist der Grund warum die Ellipse als Leitkurve verwendet wird und von der elliptischen Zyklide und nicht von der hyperbolischen Zyklide gesprochen wird.

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