Fachbereich Mathematik

Geraden auf Quadriken des R3

Erläuterungen zur Sammlung mathematischer Modelle

Die Modelle zeigen die nichtentarteten Quadriken des euklidischen Raumes, die zwei Scharen reeller Geraden tragen. Beim einschaligen Hyperboloid bilden die Richtungen dieser Geraden in der Fernebene einen Kegelschnitt (Asymptotenkegel). Beim hyperbolischen Paraboloid bilden die Richtungen dieser Geraden in der Fernebene ein sich schneidendes Geradenpaar, d.h. die Geraden jeder Schar sind parallel zu jeweils einer Ebene (Konoid).

Eigenschaften
Durch jeden Punkt dieser Quadriken geht genau eine Gerade jeder Schar. Jede gerade der einen Schar schneidet jede Gerade der anderen Schar in genau einem Punkt. Je zwei verschiedene Geraden einer Schar sind windschief. Die Quadrik kann als Menge der Treffgeraden dreier gegebener paarweise windschiefer Geraden erzeugt werden (Kinematischer Erzeugung).

Die Deformierbarkeit der Quadrik folgt zum Beispiel mit folgendem Satz (G. Darboux): Wenn drei Punkte einer Geraden g1 auf Sphären mit Mittelpunkt auf einer Geraden g2 laufen, dann läuft jeder Punkt von g1 auf einer Sphäre mit Mittelpunkt auf g2.

Die Quadriken sind Regelflächen. Die Punkte und die Geraden auf der Quadrik bilden sogenannte verallgemeinerte Vierecke (Inzidenzgeometrie). Die Tangentialebene in einem Punkt schneidet aus der Quardik gerade zwei Geraden (Asymptotenlinien) aus.

Technische Anwendung
Eine Anwendung in der Kinematik ist die Hyperboloidverzahnung windschiefer Achsen, in der Architektur ist es die Konstruktion von Kühltürmen, Dächern etc.

Pm_6 Pm_7 Pm_8 Pm_9
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